Matematyka!

[Zena92]

Nie. Po prostu myślałem, że ogarniam matematykę zanim zacząłem czytać tę dyskusję.

[Mordoklapow]

Kwantyfikatory i inne dziwne skróty matematyczne:


Generalnie matematycy to leniwe buły. Nie lubią marnować czasu na powtarzanie wyrażeń typu "dla każdego elementu n należącego do zbioru K istnieje taka liczba rzeczywista e większa od zera, że dla każdego m należącego do zbioru K i  mniejszego niż n...". Wolą go poświęcić na np. pisanie książek o tematyce chrześcijańsko-mistycznej, graniu na bębenkach czy przeszukiwaniu alfabetów prastarych języków w celu znalezienia jakiegoś jeszcze niewykorzystanego symbolu.

Tak więc, pomysłowi panowie matematycy stworzyli pewne skróty, których nagminnie używają i bez których podręczniki od matmy byłyby dwa razy dłuższe. Są one bardzo wygodne - pod warunkiem że się do nich człowiek przyzwyczai. Dlatego więc warto zacząć ich używać jak najszybciej. Są do tego stopnia wygodne, że używam ich nawet w tekście stricte pisanym, podczas pisania notatek z przedmiotów bardziej humanistycznych.

Podstawowe symbole, jak =, <, > pewnie już znacie, więc przejdziemy do tych ciekawszych. Które też pewnie spora część z was zna bardzo dobrze. Co więcej, jak ktoś ogarnia matmę wyższą, to wystarczy że przeczyta ostatnie zdania. Ogarnięcie matmy wyższej bez znajomości rzeczy w spoilerach jest niemożliwe.

Zbiory:

Spoiler

Podstawowe zbiory:

ℕ - zbiór liczb naturalnych, czyli zbiór wszystkich liczb, które można otrzymać dodając odpowiednią ilość razy liczbę 1.
ℤ- Zbiór liczb całkowitych, czyli zbiór liczb naturalnych połączony ze zbiorem liczb przeciwnych do naturalnych i liczbą 0.
ℚ - Zbiór liczb wymiernych, czyli zbiór liczb które można zapisać jako ułamek prosty liczb całkowitych.
ℝ - zbiór liczb rzeczywistych, czyli zbiór wszystkich liczb na osi liczbowej. W sumie lepszą definicją jest domknięcie Q, ale tłumaczenie czym jest domknięcie zbioru zostawimy sobie na później.

Warto zauważyć, że oznaczenie używane w szkolnictwie wyższym (czyli te które ja podałem) są inne niż te, których uczą w szkołach. Jest tak ponieważ... cóż, nie wiem dlaczego. Pewnie jakiś human z ministerstwa miał kompleksy, że nazwy pochodzą głównie z języka angielskiego a nie z polskiego, więc postanowić zmienić je na bardziej "polskie". Wprowadza to oczywiście bardzo dużo zamieszania i mam szczerą nadzieję że niedługo zostanie to zmienione. Np. w liceach liczby całkowite zaznacza się literką ℂ, podczas gdy w każdym innym cywilizowanym kraju ℂ oznacza liczby zespolone (od ang. Complex numbers).

Zawieranie, Są dwa rodzaje zawierania, mianowicie:
1) Zbiór A zawiera element a.
a ∈ A

2) Zbiór A zawiera zbiór a.
a ⊂ A

Są to dwa różne, czasem mylone oznaczenia, toteż spróbuję wytłumaczyć elementarną różnicę między nimi. W pierwszym przypadku a jest elementem zbioru A. Np. jak 1 jest elementem zbioru {0, 1, 6, 4, 3}, a 2 nie jest elementem tego zbioru.

W drugim a też jest pewnym zbiorem (NIE JEST ELEMENTEM) tyle że tutaj każdy element należący do a, też należy do A. Np:
zbiór a = {1, 2} jest podzbiorem zbioru A =  {0, 3, 4, 2, 9, 1} (tzn, że A zawiera a)
zbiór a = {1, 7} nie jest podzbiorem zbioru A = {0, 3, 4, 2, 9, 1} (tzn, że A nie zawiera a)
zbiór a= {1} jest podzbiorem zbioru A = { 9, 1, 2, 8} W tym wypadku a jest zbiorem jednoelementowym. Wcale nam to nie przeszkadza i A w tym wypadku zawiera a.

Jak już wyżej było pokazane, zbiory zazwyczaj są oznaczane przy pomocy tzw. klamerek, czyli symboli "{" i "}". Ponieważ wypisanie wprost (element po elemencie) niektórych zbiorów, w szczególności tych nieskończonych, bywa kłopotliwe, wprowadzono pewien całkiem wygodny zapis:
B={x∈C : warunek}
Gdzie w miejsce słowa "warunek" pisze się... cóż, warunek który mają spełniać wszystkie elementy podzbioru C. Tak więc czytając "na głos" zbiór C to zbiór wszystkich elementów zbioru B, który spełnia warunek "warunek".
Dla przykładu możemy wziąć zbiór wszystkich liczb naturalnych mniejszych niż 5:
G={g∈ℕ : g<5}
Lub opisać zbiór liczb naturalnych, jako zbiór liczb całkowitych większych od zera:
ℕ={q∈ℤ : q>0}

Jest to często używana notacja, więc dobrze jest ją opanować.

Teraz inna ważna rzecz, czyli kwantyfikatory.

Spoiler

Są to takie skróty. W sumie mają głębszy sens logiczny, ale chwilowo nie będziemy się nim przejmować.
Generalnie mamy dwa najważniejsze:
∀ oznaczający "dla każdego"
∃ oznaczający "istnieje"
Odczytanie takich symboli polega na zamienieniu ich na ich słowne znaczenia. Wszystko powinno nabrać sensu wraz z przykładami.

∀x∈W ∃y∈W taki, że x*y=1.
Odczytamy jako " dla każdego x należącego do W istnieje taki y należący do W, że spełnione jest równanie x*y=1"

∀x∈X, y∈X   d(x,y)>0
Odczytamy jako "Dla każdych x i y należących do X, funkcja d zadana na tych dwóch argumentach musi przyjmować wartość większą od 0. Z takim zdaniem niedługo się ponownie spotkamy, gdyż jest on jednym z aksjomatów metryki.

Jeżeli A1, A2, A3...  jest ciągiem liczb rzeczywistych.
∀ε>0 ∃N∈ℕ ∀n>N,m>N ∈ℕ  |An-Am|<ε
Odczytamy jako "dla każdego epsilon większego od 0, istnieje takie N, że dla każdych liczb naturalnych n i m większych od N, wartość bezwzględna różnicy n-tego i m-tego elementu ciągu a jest mniejsza niż epsilon."

Możemy je używać przy opisywaniu podzbiorów, np. w taki sposób:
B={f∈C(ℝ,ℝ) : ∃r∈ℝ ∀x∈ℝ |f(x)|<r } Gdzie C(ℝ,ℝ) jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z ℝ do ℝ.
otrzymamy zbiór  ograniczonych funkcji ciągłych z ℝ do ℝ. Na początku może się to wydawać trochę skomplikowane, ale jest to kwestia przyzwyczajenia.

Warto zwrócić też uwagę na to, że kolejność kwantyfikatorów ma znaczenie.

Powoli zaczyna być widocznym dlaczego matematycy używają kwantyfikatorów. Są wygodne, eleganckie i po chwili przyzwyczajania się, bardzo czytelne. Na pewno bardziej, niż zwykły tekst pisany. Łatwo je zapamiętać - ∀ pochodzi od słowa "All", a ∃ od słowa "Exists".
Możecie się też spotkać z "radzieckimi" kwantyfikatorami : ⋁ i ⋀. Ten pierwszy jest tożsamy z ∃, drugi z ∀. Używa się ich dokładnie tak samo.
Ogółem warto się do nich przyzwyczajać ponieważ po pewnym czasie "wchodzą" one w człowieka. Odczytywanie ich staje się czysto odruchowe, zazwyczaj przenikają do świadomości, nie zmieniając się po drodze w słowo pisane/czytane.

W Polskiej notacji matematycznej rozpowszechniony jest jeszcze jeden kwantyfikator, mianowicie ∃! oznaczający "istnieje dokładnie jeden". Jednak nie jestem pewien, czy jest również używany w innych krajach.

W razie jakichkolwiek pytań, uwag, zauważonych przekłamać walcie śmiało.

PS. @Zena, przeceniasz mnie. Wcale nie znam dobrze matmy. Co gorsza, im więcej matmę ogarniam, tym mam większe wrażenie, że nie ogarniam jej wcale.
Poza tym, nie bój się tu pisać, przecież Cię nie wyśmieję.

[Zena92]

Cóż, moja matematyka zatrzymała się na całkach pojedynczych i na jednorazowym liźnięciu transformaty Laplace'a. A ty tutaj o jakiś metrykach i topologiach piszesz. Panie, ja tylko prosty chemik.

[Kamil-Maciej]

Jeśli pisze:

a ∈ A to znaczy to, że zbiór a zawiera element a, ale nie całe a chyba, że a jest zbiorem zawierającym tylko jedną liczbę.

b ⊂ B znaczy, że zbiór B MUSI zawierać w sobie całe b, ale oprócz tego mogą się w nim znajdować również inne liczby.

Jeśli napiszę: B ⊂ c: <0, to znaczy, to, że wszystkie liczby zbioru B są mniejsze od 0, gdyż cały B zawiera się w c, którego liczby spełniają warunek bycia mniejszymi od zera.

Jeśli napiszę:

∀ a: >0 ∃ a + 1
to znaczy to: dla każdej liczby a większej od 0 istnieje liczba o jeden większa.

[Mordoklapow]

a ∈ A to znaczy to, że zbiór a zawiera element a, ale nie całe a chyba, że a jest zbiorem zawierającym tylko jedną liczbę.
Dokładnie. Jako ciekawostkę mogę dodać, że zbiór zawierający jeden element nazywamy singletonem.

b ⊂ B znaczy, że zbiór B MUSI zawierać w sobie całe b, ale oprócz tego mogą się w nim znajdować również inne liczby.
Tak. Gdyby nie znajdowałyby się w nim inne elementy niż te które są w b, to byłaby to równość zbiorów, i moglibyśmy zapisać b = B.

Jeśli napiszę: B ⊂ c: <0, to znaczy, to, że wszystkie liczby zbioru B są mniejsze od 0, gdyż cały B zawiera się w c, którego liczby spełniają warunek bycia mniejszymi od zera.

Akurat ten zapis jest niejednoznaczny, w takim sensie, że nie powinno się dla zbiorów stosować oznaczeń używanych do pojedynczych elementów. Tutaj poprawny byłby zapis B ⊂ c = { g ∈ ???, g < 0}. Akurat przykład jest trochę kłopotliwy, gdyż nie w każdym zbiorze da się elegancko stworzyć relację "<", a nie uściśliłeś czym są elementy c. Jednak sądzę, że chodziło ci o liczby rzeczywiste, tak więc wtedy zapis wyglądałby tak: (wybacz za brzydkie oznaczenie liczb rzeczywistych jako IR)
B ⊂ c = { g ∈ IR, g < 0}
Ogółem pamiętaj, że jeżeli tworzysz warunek dla zbioru c, to musisz skądś brać jego elementy. Potrzebny ci jest jakiś większy zbiór, by JEGO elementy mogły spełniać twój warunek (w tym wypadku <0).
Tak więc reasumując, w tym zapisie nie powiedziałeś czym dokładnie są elementy tych zbiorów. Gdyby to były np. funkcje albo wektory, to mówienie o < byłoby... raczej niepoprawne, bowiem dla tych elementów taka relacja zazwyczaj nie istnieje.

Ogółem może to się na pierwszy rzut oka wydawać dziwne i zbyt pokomplikowane, ale jak będziemy rozpatrywali przestrzenie których elementy nie są liczbami, to będzie przydatne. Co więcej, będziemy nierzadko używali jednocześnie różnych zbiorów, których elementy będą zupełnie innymi obiektami. Wtedy taki luźny zapis jak Twój, byłby mocno mylący, w szczególności że czasem jest naprawdę nieoczywiste, czy coś jest skalarem, wektorem czy może tensorem, albo nawet funkcjonałem liniowym. W takim wypadku jasny zapis np. h ∈ V⊗W może być prawdziwą manną z nieba.
Możliwe, że niedługo sam się o tym przekonasz.

Jeśli napiszę: ∀ a: >0 ∃ a + 1 to znaczy to: dla każdej liczby a większej od 0 istnieje liczba o jeden większa.
Tak. Chociaż ładniej byłoby napisać ∀ a>0 ∃b : b = a + 1. Mówiąc ładnie, jest to warunek domknięcia struktury algebraicznej ze względu na dodawanie jedynki. Jak ja lubię być przemądrzały. :

@Zena, to i tak lepiej niż większość społeczeństwa. Poza tym, akurat będzie okazja by to trochę zmienić. O metryce napiszę, to nie jest nic trudnego.

[Kamil-Maciej]

Jeśli napiszę: B ⊂ c: <0, to znaczy, to, że wszystkie liczby zbioru B są mniejsze od 0, gdyż cały B zawiera się w c, którego liczby spełniają warunek bycia mniejszymi od zera.

Akurat ten zapis jest niejednoznaczny, w takim sensie, że nie powinno się dla zbiorów stosować oznaczeń używanych do pojedynczych elementów. Tutaj poprawny byłby zapis B ⊂ c = { g ∈ ???, g < 0}. Akurat przykład jest trochę kłopotliwy, gdyż nie w każdym zbiorze da się elegancko stworzyć relację "<", a nie uściśliłeś czym są elementy c. Jednak sądzę, że chodziło ci o liczby rzeczywiste, tak więc wtedy zapis wyglądałby tak: (wybacz za brzydkie oznaczenie liczb rzeczywistych jako IR)
B ⊂ c = { g ∈ IR, g < 0}
Ogółem pamiętaj, że jeżeli tworzysz warunek dla zbioru c, to musisz skądś brać jego elementy. Potrzebny ci jest jakiś większy zbiór, by JEGO elementy mogły spełniać twój warunek (w tym wypadku <0).
Tak więc reasumując, w tym zapisie nie powiedziałeś czym dokładnie są elementy tych zbiorów. Gdyby to były np. funkcje albo wektory, to mówienie o < byłoby... raczej niepoprawne, bowiem dla tych elementów taka relacja zazwyczaj nie istnieje.

Ogółem może to się na pierwszy rzut oka wydawać dziwne i zbyt pokomplikowane, ale jak będziemy rozpatrywali przestrzenie których elementy nie są liczbami, to będzie przydatne. Co więcej, będziemy nierzadko używali jednocześnie różnych zbiorów, których elementy będą zupełnie innymi obiektami. Wtedy taki luźny zapis jak Twój, byłby mocno mylący, w szczególności że czasem jest naprawdę nieoczywiste, czy coś jest skalarem, wektorem czy może tensorem, albo nawet funkcjonałem liniowym. W takim wypadku jasny zapis np. h ∈ V⊗W może być prawdziwą manną z nieba.
Możliwe, że niedługo sam się o tym przekonasz.

Dziękuję. Teraz spróbuję zrobić to dobrze:

A ⊂ c = ( X∈ℤ, X+ 1 = ℕ )

Oznacza to, że zbiór A zawiera liczby, które są całkowite i po dodaniu do nich 1 otrzymamy liczby naturalne.

[Mordoklapow]

Bardzo blisko, tyle że "X+ 1 = ℕ" coś nie pasuje. Po lewej stronie równości masz liczbę, a po prawej zbiór. Wiesz co powinno być zamiast znaku równości?
Ach, i jeszcze zamiast nawiasów () powinny być klamerki {}.

Przy okazji chciałbym dodać, że post na temat przestrzeni metrycznych trochę się opóźni. Powodem jest... tak zgadliście, brak czasu.

[Kamil-Maciej]

Bardzo blisko, tyle że "X+ 1 = ℕ" coś nie pasuje. Po lewej stronie równości masz liczbę, a po prawej zbiór. Wiesz co powinno być zamiast znaku równości?
Ach, i jeszcze zamiast nawiasów () powinny być klamerki {}.

Przy okazji chciałbym dodać, że post na temat przestrzeni metrycznych trochę się opóźni. Powodem jest... tak zgadliście, brak czasu.

Spróbuję się poprawić. Wciąż pokutują przyzwyczajenia z czasów gim... yyy  przecież ja chodzę do gimnazjum...

Y ⊂ a: { a⊂ℤ, a - 20 = Y}

Mam nadzieję, że w końcu udało mi się to zrobić dobrze. Powyższy zapis ma oznaczać: zbiór Y zawiera się w a, które z kolei zawiera się w zbiorze liczb całkowitych i po odjęciu od którejś z jego liczb 20 otrzymamy którąś z liczb ze zbioru Y.

[Mordoklapow]

Co to jest "a - 20". Z tego co widzę a jest zbiorem, więc nie możesz od zbioru odjąć "20".

Generalnie zawsze jak coś piszesz, warto pamiętać, co jest zbiorem, a co liczbą. Od liczby nie możesz odjąć zbioru, zbiór nie może równać się liczbie. Pod tym względem dobrze pamiętać, gdzie dane relacje się zaczynają i kończą. Np. jak jest "∈" to po lewej stronie zawsze będzie element, a po prawej zawsze będzie zbiór. Jak piszesz "=" to zawsze po obu stronach musi być to samo. Albo zbiory, albo elementy.

powinieneś też pamiętać, że nie należy używać tej samej literki, do dwóch różnych elementów czy zbiorów. Oznaczeń chwilowo nie zabraknie, w samym alfabecie łacińskim jest dostatecznie dużo literek. Tutaj powtarzało się a które jednocześnie było zbiorem, jak i elementem. Zmieniłem oznaczenie elementu na g.
Y ⊂ a ⊂ {g ⊂ ℤ, g - 20 ∈ Y}
Teraz Y to podzbiór a, który jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych które po odjęciu 20 są zawarte w Y.

Btw, jakbyś chciał, to mogę Ci dać więcej przykładów.

A co do poprzedniego przykładu, to poprawny zapis wyglądałby tak:
A ⊂ c = { X∈ℤ, X+ 1 ∈ ℕ }
Wybacz że odpowiedziałem tak późno.

[Kamil-Maciej]

Co to jest "a - 20". Z tego co widzę a jest zbiorem, więc nie możesz od zbioru odjąć "20".

Generalnie zawsze jak coś piszesz, warto pamiętać, co jest zbiorem, a co liczbą. Od liczby nie możesz odjąć zbioru, zbiór nie może równać się liczbie. Pod tym względem dobrze pamiętać, gdzie dane relacje się zaczynają i kończą. Np. jak jest "∈" to po lewej stronie zawsze będzie element, a po prawej zawsze będzie zbiór. Jak piszesz "=" to zawsze po obu stronach musi być to samo. Albo zbiory, albo elementy.

powinieneś też pamiętać, że nie należy używać tej samej literki, do dwóch różnych elementów czy zbiorów. Oznaczeń chwilowo nie zabraknie, w samym alfabecie łacińskim jest dostatecznie dużo literek. Tutaj powtarzało się a które jednocześnie było zbiorem, jak i elementem. Zmieniłem oznaczenie elementu na g.
Y ⊂ a ⊂  {g ⊂ ℤ, g - 20 ∈ Y}
Teraz Y to podzbiór a, który jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych które po odjęciu 20 są zawarte w Y.

Btw, jakbyś chciał, to mogę Ci dać więcej przykładów.

A co do poprzedniego przykładu, to poprawny zapis wyglądałby tak:
A ⊂ c = { X∈ℤ, X+ 1 ∈  ℕ }
Wybacz że odpowiedziałem tak późno.

Nic się nie stało. A co do przykładów, to nie mówię nie.

[Kamil-Maciej]

Pozwólcie, że zadam pytanie: czemu ludzie nie lubią matematyki?

[Soloneusz Przeciętny]

Matematyka jest postrzegana jako trudna, to raz.
Większość lekcji sprowadza się do bezmyślnego klepania schematycznych zadań, i to już od najwcześniejszych etapów edukacji, to dwa.
Uczniowie uważają, że w sumie na oko 99% rzeczy przerabianych na matematyce im się w życiu do niczego nie przyda, to trzy.

Poza tym niebagatelny wpływ ma również zepsuta kultura zachodu, szkalująca piękno matematyki w niemalże każdym filmie o nastolatkach i ich życiowych problemach.

Edit: piszę oczywiście nie o matematyce wyższej, ino szkolnej, niechęć do wyższej na studiach to zupełnie co innego