+- PONE – NAJLEPSZE FORUM W INTERNECIE, PONIEKĄD. (https://pone.gdan.eu)
+-- Dział: Offtopic (https://pone.gdan.eu/forumdisplay.php?fid=15)
+--- Dział: Syf (https://pone.gdan.eu/forumdisplay.php?fid=17)
+--- Wątek: Matematyka! (/showthread.php?tid=18)
RE: Matematyka! - Mordoklapow - 14-04-2016
Teoria zbiorów to teoria o zbiorach, ich elementach i odwzorowaniach między nimi. Zajmuje się między innymi ich mocą lub istnieniem. (np. istnieniem jakiegoś zbioru). Poza tym, definiuje relacje, funkcje i inne takie ważne rzeczy. Np. na bardzo ważnym tw. Kuratowskiego-Zorna opiera się większość teorii o magicznych przestrzeniach nieskończenie wymiarowych (tw Hahna-Banacha, tw. o istnieniu bazy Hilberta lub o istnieniu bazy Hamela). Tak więc dzięki niej wiemy, np. że niektóre rzeczy których konstrukcja trwałaby nieskończenie długo (z powodu nieskończonej ilości kroków), rzeczywiście istnieją. Jest sporo podobnych przykładów.
Co do ważności tej teorii: Po pierwsze praktycznie wszystko co się rozważa w matematyce, to są albo zbiory, albo ich elementy, ewentualnie odwzorowania między nimi. Jest to więc teoria która dotyczy wszystkich normalnych dziedzin matematyki.
Poza tym, teoria zbiorów jest ważna, gdyż na niej opierają się aksjomaty matematyki. To właśnie z aksjomatów teorii zbiorów wyciąga się WSZYSTKO. Liczby naturalne można skonstruować ze zbiorów składających się ze zbiorów pustych i zbiorów zawierających zbiory puste i zawierające zbiory puste i zawierające.... W takiej konstrukcji, zerze odpowiada zbiór pusty a jedynce odpowiada zbiór, zawierający zbiór pusty, dwójce zbiór zawierający zbiór zawierający zbiór pusty i zbiór zawierający zbiór pusty, i tak dalej. Tak ciekawostka.
Jednak by zrozumieć tą ideę, przydaje się przebić przez dobry, dokładny i obszerny wykład z analizy. Zaczyna się zazwyczaj właśnie od aksjomatów i robienia Różnych Rzeczy Ze Zbiorami. Przede wszystkim, trzeba zrozumieć czym są funkcje różnowartościowe, "na", bijekcje itp. Moc zbioru - przede wszystkim przeliczalność - jest BARDZO WAŻNA jeżeli chodzi o sporą część matematyki odrobinę bardziej zaawansowanej niż całki Riemanna. Potem trzaska się rzeczy w przestrzeniach metrycznych - zbiory otwarte, zbiory domknięte, zwarte, ograniczone... ogółem bawi się w tzw. topologię, czyli dział matematyki o zbieżności ciągów. Następnie konstruuje się liczby rzeczywiste jako domknięcie liczb wymiernych. Potem różniczki, całki, przestrzenie Banacha, Hilberta, miara... Jednak o co mi chodzi w tym przydługim wywodzie? Otóż nigdy potem nie wsadza się jakichkolwiek innych aksjomatów.
Tak więc wszystko, prawie cała matematyka, zbudowana jest na aksjomatach teorii zbiorów. Co nie jest? Chyba tylko jakieś najdziksze, najbardziej bezużyteczne pojęcia na granicy matematyki.
Bardziej zaawansowana teoria zbiorów i mnogości jest całkiem ciekawa, ale już mniej przydatna. Liczby kardynalne, dziwne nieskończoności, hipoteza kontinuum... dalej nie wiem, nie znam się. Między innymi stąd wnioskuję, że jest nieprzydatna.
RE: Matematyka! - Soloneusz Przeciętny - 17-04-2016
Elo, matematyczne świry!
Na przyszły poniedziałek mam przygotować "Zadania z niespodzianką" na 90 minut zajęć, trochę ma być na poziomie podstawówki, trochę na gimnazjum, trochę na szkołę średnią. Także ten, jak ktoś ma jakieś fajne zadanka i chciałby się podzielić, czy coś, to chętnie przyjmę
Na zachętę wrzucam coś takiego:
Zasadź 10 drzew, w pięciu rzędach po 4 drzewa.
RE: Matematyka! - naruciakk - 17-04-2016
Jak pisałem na SB, daj im zadania z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów: http://www.omg.edu.pl/
Możesz także w sumie z Kangura, tam też są fajne
RE: Matematyka! - Irwin - 11-10-2016
@Mordoklapow
Mam takie pytanie, raczej durne, niż sensowne - jak można wykorzystać zasadę szufladkowania do wykrywania kombinacji strita w pokerze?
RE: Matematyka! - Soloneusz Przeciętny - 29-12-2016
Takie pytanie, może ktoś akurat wie - jak pokazać, że walec jest mierzalny po jordanowsku?
RE: Matematyka! - Warmen - 30-12-2016
Nie piłem jeszcze Jordanowska, ale musi nieźle klepać, skoro ciężko po nim zmierzyć walec
RE: Matematyka! - Casimir - 17-05-2017
@KochamChemie
Metoda Monte Carlo na przykładzie:
Chcemy wyznaczyć pi.
Weźmy sobie tablicę 1000x1000 i wyznaczmy w niej odpowiednim równaniem komórki kwalifikujące się do ćwierćkola o środku w komórce [0, 1000] i promieniu 1000. Wiemy, że jego pole to (1/4)pi*r^2
Rzucamy losowo [rand1000, rand1000] dowolnie dużo (im więcej tym lepiej) punktów na tą tablicę.
Liczymy, ile z nich znajdziemy wewnątrz ćwierćkola a ile na zewnątrz.
Entropia rozkładu punktów w tej tablicy jest praktycznie maksymalna. Dla tego możemy zrobić tak:
Pole naszej tablicy 1000x1000 niech się równa ilości punktów (może być dowolnie dużo). Weźmy pole ćwierćkola: ilość punktów w nim. I wiemy, że p. trafienia w nie wynosi (1/4)pi. I jest to ilość punktów w tym/ilość w ogóle. Teraz jasne?
RE: Matematyka! - KochamChemie - 17-05-2017
O wiele lepiej, ale nadal, dużo rzeczy do nauczenia, ale spokojnie, angielskie wykłady na yt pomagają.